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        1. 考研幫 > 數學 > 復習經驗

          數學高數:你不知道的出題規律及常考題型

            摘要:數一、數二、數三,高數都是考研數學的大頭,根據往年的數學真題分析,發現高數命題還是有一定規律所在的。那么大家就來看看有什么樣的規律,又有哪些常考的題型吧~

            一、高數命題規律

            1)側重對數一、數三獨有知識的考查。考研數學一有什么獨有知識?大的模塊有空間解析幾何、多元積分(三重積分、曲線積分和曲面積分);數三獨有的知識包括經濟應用和級數(相對數二而言)。比如2014年真題中數一考了切平面方程,斯托克斯公式還有曲面積分;數三考了邊際收益和冪級數求和展開。

            2)考查考生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力。說白了就是應用題。比方上面提到的考研數三的經濟應用,數二考到了形心質心。前者是導數的經濟應用,后者是定積分的幾何應用。

            3)考點覆蓋較全。這提示考生不要有僥幸心理,不要忽略次要考點,要做全面復習。這與把握重點是不矛盾的。這里可以把考研政治中的馬克思主義哲學基本原理用過來:全面復習和把握重點的辯證統一。

            二、常考題型

            ?向量代數與空間解析幾何

            1、理解向量的概念及其表示。

            2、掌握向量的運算(線性運算、數量積、向量積、混合積),了解兩個向量垂直、平行的條件;掌握單位向量、方向數與方向余弦、向量的坐標表達式以及用坐標表達式進行向量運算的方法。

            3、掌握平面方程和直線方程及其求法,會利用平面直線的相互關系解決有關問題。

            4、理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其圖形,會求以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。

            5、了解空間曲線的參數方程和一般方程;了解空間曲線在坐標平面上的投影,并會求其方程。

            ?微分方程

            1.求典型類型的一階微分方程的通解或特解:這類問題首先是判別方程類型,當然,有些方程不直接屬于我們學過的類型,此時常用的方法是將x與y對調或作適當的變量代換,把原方程化為我們學過的類型;

            2.求解可降階方程;

            3.求線性常系數齊次和非齊次方程的特解或通解;

            4.根據實際問題或給定的條件建立微分方程并求解;

            ?無窮級數

            1.判定數項級數的收斂、發散、絕對收斂、條件收斂;

            2.求冪級數的收斂半徑,收斂域;

            3.求冪級數的和函數或求數項級數的和;

            4.將函數展開為冪級數(包括寫出收斂域);

            5.將函數展開為傅立葉級數,或已給出傅立葉級數,要確定其在某點的和(通常要用狄里克雷定理);

            ?多元函數的積分學

            1.二重、三重積分在各種坐標下的計算,累次積分交換次序;

            2.第一型曲線積分、曲面積分計算;

            3.第二型(對坐標)曲線積分的計算,格林公式,斯托克斯公式及其應用;

            4.第二型(對坐標)曲面積分的計算,高斯公式及其應用;

            5.梯度、散度、旋度的綜合計算;

            6.重積分,線面積分應用;求面積,體積,重量,重心,引力,變力作功等。

            ?多元函數的微分學

            1.判定一個二元函數在一點是否連續,偏導數是否存在、是否可微,偏導數是否連續;

            2.求多元函數(特別是含有抽象函數)的一階、二階偏導數,求隱函數的一階、二階偏導數;

            3.求二元、三元函數的方向導數和梯度;

            4.求曲面的切平面和法線,求空間曲線的切線與法平面,該類型題是多元函數的微分學與前面向量代數與空間解析幾何的綜合題,應結合起來復習;

            5.多元函數的極值或條件極值在幾何、物理與經濟上的應用題;

            6.求一個二元連續函數在一個有界平面區域上的最大值和最小值。

            ?一元函數積分學

            1.計算不定積分、定積分及廣義積分;

            2.關于變上限積分的題:如求導、求極限等;

            3.有關積分中值定理和積分性質的證明題;

            定積分應用題:

            計算面積,旋轉體體積,平面曲線弧長,旋轉面面積,壓力,引力,變力作功等;

            綜合性試題。

            向量代數和空間解析幾何

            計算題:

            1.求向量的數量積,向量積及混合積;

            2.求直線方程,平面方程;

            3.判定平面與直線間平行、垂直的關系,求夾角;

            4.建立旋轉面的方程;

            與多元函數微分學在幾何上的應用或與線性代數相關聯的題目。

            ?一元函數微分學

            1.求給定函數的導數與微分(包括高階導數),隱函數和由參數方程所確定的函數求導,特別是分段函數和帶有絕對值的函數可導性的討論;

            2.利用洛比達法則求不定式極限;

            3.討論函數極值,方程的根,證明函數不等式;

            4.利用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理證明有關命題,如“證明在開區間內至少存在一點滿足……”,此類問題證明經常需要構造輔助函數;

            5.幾何、物理、經濟等方面的最大值、最小值應用問題,解這類問題,主要是確定目標函數和約束條件,判定所討論區間;

            6.利用導數研究函數性態和描繪函數圖形,求曲線漸近線。

            ?函數、極限與鏈接

            1.求分段函數的復合函數;

            2.求極限或已知極限確定原式中的常數;

            3.討論函數的連續性,判斷間斷點的類型;

            4.無窮小階的比較;

            5.討論連續函數在給定區間上零點的個數,或確定方程在給定區間上有無實根。

            這一部分更多的會以選擇題,填空題,或者作為構成大題的一個部件來考核,復習的關鍵是要對這些概念有本質的理解,在此基礎上找習題強化。

            三、如何判斷自己掌握了知識點?

            大家可任選一道考研數學真題,該題可能有一定難度和綜合性,但其分解之后的考點都在考綱規定的考點范圍內,說明考研數學重基礎。

            那么打牢基礎是否能輕松應對考試呢?不夠,還需要在此基礎上總結方法。比如中值定理相關的證明題是令不少考生頭痛的一類題。各位考研er把基礎內容(閉區間上連續函數的性質、費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理)掌握好后(定理內容能完整表述,定理本身會證),直接做真題,很可能沒什么思路,不知道朝哪個方向想。

            知識從理解到應用有一個過程:理解了不代表會用,應用還有個方向問題——在哪方面應用呢?這時真題的價值就顯現出來了:真題是很好的素材,通過對歷年真題的分析總結,可以對真題的具體應用有直觀認識,對真題的命題思路有全面認識。

            換句話說,通過對考研數學真題“歸納題型,總結方法”可以讓大家知道哪道題目往哪個方向想。以中值定理相關的證明這類題型為例,如果總結到位了,就能達到如下效果:拿到一道此類型的題目,一般可以從條件出發進行思考,看要證的式子是含一個中值還是兩個。若是一個,再看含不含導數,若含導數,優先考慮羅爾定理,否則考慮閉區間上連續函數的性質(主要是兩個定理——介值定理和零點存在定理);若待證的式子含兩個中值,則考慮拉格朗日定理和柯西定理。

            經過這篇干貨,大家對高數的把握是不是大大加深了呢?找到合適的方法與技巧,數學對你來說沒什么困難!

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